Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, schön, dass Sie wieder da sind. Wir haben ja in der letzten Vorlesung über die

Exponentialfunktion und den Logarithmus gesprochen. Hier nochmal die Definition der

Exponentialfunktion. Die haben wir ja durch die Exponentialreihe definiert. Das heißt

E hoch X oder die Exponentialfunktion an der Stelle X ist die Summe von J gleich 0 bis

unendlich X hoch J geteilt durch J Fakultät. Diese Reihe konvergiert für alle X aus R

und somit ist das eine eindeutige Zuordnung einer Zahl X zu E hoch X. Das ist also 1 plus X plus

X quadrat halber plus X hoch 3 sechste plus und so weiter, wenn man es mit dieser pünktlichen

Schreibweise notiert. Und das Gute an der Exponentialreihe ist, dass sie auch relativ

schnell konvergiert, dadurch dass ja in den Nennern hier die Fakultät steht und die wächst

eben sehr schnell. Also man kann tatsächlich hier ganz gut Nährungswerte erhalten, wenn das X nicht

zu groß ist vor allem. Und wir haben auch schon die Funktionalgleichung der E-Funktion gesehen,

wenn man in die E-Funktion nämlich eine Summe einsetzt, also die Exponentialfunktion einer

Summe bildet, dann kann man das machen, indem man E hoch X einfach mit E hoch Y multipliziert.

Also wenn man die E-Funktion auf dem Intervall von 0 bis 1 kennt, dann kann man die E-Funktion für

die größeren Werte einfach bekommen, indem man da entsprechend für Y natürliche Zahlen dazu

addiert. Und dann muss man hier E hoch N immer daran multiplizieren. Wir haben auch schon die

Ableitung dieser E-Funktion betrachtet, die ist ja differenzierbar. Und die Ableitung dieser

Exponentialfunktion ist genau wieder dieselbe Funktion, auch die Exponentialfunktion. D nach

dx von E hoch X ist gleich E hoch X. Das ist auch eine wichtige Eigenschaft, deshalb taucht

die Exponentialfunktion sehr oft auf, wenn sie Differentialgleichungen lösen. Die Exponentialfunktion

hat an einzelnen Stellen auch einfache Werte, also E hoch Null ist zum Beispiel eins, das kann man

leicht ausrechnen, sieht man auch an der Exponentialreihe, dann bleibt nur die eins übrig,

mit der die Reihe anfängt und die Terme mit X, die verschwinden alle. Dann gibt es die

Exponentialfunktion an der Stelle eins und das ist die Eulersche Zahl E. Also eins durch null Fakultät

plus eins durch eins Fakultät plus eins durch zwei Fakultät plus eins durch drei Fakultät und so

weiter. Und die kennen sie ja auch schon lange, taucht hier auf. Die E-Funktion, die nimmt nur

positive Werte an, die Ableitung ist also auch immer echt größer Null, das heißt diese Funktion

wächst streng monoton, die hat also eine Umkehrfunktion und weil die Werte der E-Funktion nur

positiv sind, ist die Umkehrfunktion für X größer Null definiert und das ist der Logarithmus,

das ist die Umkehrfunktion dieser Exponentialfunktion, der natürliche Logarithmus.

Logarithmus von X ist definiert für X größer Null und wir haben ja die Formel für die Berechnung

der Ableitung der Umkehrfunktion, die können wir hier auch verwenden und man erhält dann D nach

D X vom Logarithmus von X ist gleich eins durch X, also da steht das X im Nenner, aber das macht

nichts, weil das X ja sowieso größer als Null sein muss. Gibt es dazu noch Fragen, Bemerkungen?

Also das sind ganz wichtige grundlegende Tatsachen, mit der Exponentialfunktion und dem

Logarithmus kann man eben sehr gut rechnen und auch viele Probleme explizit lösen.

Und eine Darstellung der Exponentialfunktion als Grenzwert haben wir auch schon gesehen und die

wollen wir jetzt noch mal herleiten unter Verwendung dieser Ableitung, also eine Art Anwendung.

Wir nehmen mal einen Punkt X aus R her, dann gilt 1 plus X geteilt durch N hoch N wollen wir jetzt

betrachten und das sind ja Potenzen mit natürlichen Zahlen, also N ist eine natürliche Zahl, da haben

wir das ja definiert als ein Produkt mit sich selbst N mal, aber das kann man auch umschreiben

unter Verwendung von Exponentialfunktionen und Logarithmus, das ist nämlich E hoch N mal der

Logarithmus von 1 plus X durch N, das sieht erstmal komplizierter aus, aber uns interessiert jetzt

der Grenzwert für X gegen unendlich und da ist es günstig das so mit der Exponentialfunktion und

dem Logarithmus umzuschreiben. Die Exponentialfunktion ist stetig, also wenn das Innere für N gegen

unendlich einen Grenzwert hat, dann geht das Ganze einfach gegen E hoch diesen Grenzwert und das

Ganze funktioniert nur, wenn der Logarithmus definiert ist, aber das ist immer der Fall,

falls N hinreichend groß ist, dann ist ja X durch N größer als minus 1 und dann steht hier immer

eine positive Zahl, dann ist der Logarithmus definiert und jetzt betrachten wir den Grenzwert für N